4.3 出现次数超过一半的数字

## 题目描述

题目：数组中有一个数字出现的次数超过了数组长度的一半，找出这个数字。

## 分析与解法
一个数组中有很多数，现在我们要找出其中那个出现次数超过总数一半的数字，怎么找呢？大凡当我们碰到某一个杂乱无序的东西时，我们人的内心本质期望是希望把它梳理成有序的。所以，我们得分两种情况来讨论，无序和有序。

### 解法一

如果**无序**，那么我们是不是可以先把数组中所有这些数字**先进行排序**（至于排序方法可选取最常用的快速排序）。排完序后，直接遍历，在遍历整个数组的同时统计每个数字的出现次数，然后把那个出现次数超过一半的数字直接输出，题目便解答完成了。总的时间复杂度为O(nlogn + n)。

但**如果是有序的数组呢**，或者经过排序把无序的数组变成有序后的数组呢？是否在排完序O(nlogn)后，还需要再遍历一次整个数组？

我们知道，既然是数组的话，那么我们可以根据数组索引支持直接定向到某一个数。我们发现，一个数字在数组中的出现次数超过了一半，那么在已排好序的数组索引的N/2处（从零开始编号），就一定是这个数字。自此，我们只需要对整个数组排完序之后，然后直接输出数组中的第N/2处的数字即可，这个数字即是整个数组中出现次数超过一半的数字，总的时间复杂度由于少了最后一次整个数组的遍历，缩小到O(n*logn)。

然时间复杂度并无本质性的改变，我们需要找到一种更为有效的思路或方法。

### 解法二

既要缩小总的时间复杂度，那么可以用查找时间复杂度为O(1)的**hash表**，即以空间换时间。哈希表的键值（Key）为数组中的数字，值（Value）为该数字对应的次数。然后直接遍历整个**hash表**，找出每一个数字在对应的位置处出现的次数，输出那个出现次数超过一半的数字即可。
 
### 解法三
Hash表需要O(n)的空间开销，且要设计hash函数，还有没有更好的办法呢？我们可以试着这么考虑，如果**每次删除两个不同的数**（不管是不是我们要查找的那个出现次数超过一半的数字），那么，在剩下的数中，我们要查找的数（出现次数超过一半）出现的次数仍然超过总数的一半。通过不断重复这个过程，不断排除掉其它的数，最终找到那个出现次数超过一半的数字。这个方法，免去了排序，也避免了空间O(n)的开销，总得说来，时间复杂度只有O(n)，空间复杂度为O(1)，貌似不失为最佳方法。

举个简单的例子，如数组a[5] = {0, 1, 2, 1, 1};

很显然，若我们要找出数组a中出现次数超过一半的数字，这个数字便是1，若根据上述思路4所述的方法来查找，我们应该怎么做呢？通过一次性遍历整个数组，然后每次删除不相同的两个数字，过程如下简单表示：

0 1 2 1 1 =>2 1 1=>1
    
最终1即为所找。

但是数组如果是{5, 5, 5, 5, 1}，还能运用上述思路么？很明显不能，咱们得另寻良策。

### 解法四
咱们根据数组的特性考虑到： 
 - 数组中有个数字出现的次数超过了数组长度的一半。换句话说，有个数字出现的次数比其他所有数字出现次数的和还要多。
 - 因此我们可以考虑在遍历数组的时候保存两个值：一个是数组中的一个数字，一个是次数，当我们遍历到下一个数字的时候：
- 如果下一个数字和我们之前保存的数字相同，则次数加1；
- 如果下一个数字和我们之前保存的数字不同，则次数减1，我们需要保存下一个数字，并把次数重新设为1。

下面，举两个例子：

* 第一个例子，假定数组为{5, 5, 5, 5, 1}

不同的相消，相同的累积。遍历到第四个数字时，candidate 是5, nTimes 是4；遍历到第五个数字时，candidate 是5, nTimes 是3；nTimes不为0，那么candidate就是超过半数的。

* 第二个例子，假定数组为{0, 1, 2, 1, 1}

开始时，保存candidate是数字0，nTimes为1；遍历到数字1后，与数字0不同，则nTimes减1变为零；接下来，遍历到数字2，2与1不同，candidate保存数字2，且nTimes重新设为1；继续遍历到第4个数字1时，与2不同，nTimes减1为零，同时candidate保存为1；最终遍历到最后一个数字还是1，与我们之前candidate保存的数字1相同，nTimes加1为1。最后返回的是之前保存的candidate为1。

思路清楚了，完整的代码如下：

```c
//a代表数组，length代表数组长度
int FindOneNumber(int* a, int length)
{
	int candidate = a[0];
	int nTimes, i;
	for (i = nTimes = 0; i < length; i++)
	{
		if (candidate == a[i])
			nTimes++;
		else 
			nTimes--;
		if (nTimes == 0)
		{
			candidate = a[i];
			nTimes = 1;
		}
	}
	return candidate;
}
```

即针对数组{0, 1, 2, 1, 1}，套用上述程序可得：

i=0，candidate=0，nTimes=1；
    i=1，a[1] != candidate，nTimes--，=0；
    i=2，candidate=2，nTimes=1；
    i=3，a[3] != candidate，nTimes--，=0；
    i=4，candidate=1，nTimes=1；
    如果是0，1，2，1，1，1的话，那么i=5，a[5] == candidate，nTimes++，=2；......

## 举一反三
加强版水王：找出出现次数刚好是一半的数字

分析：我们知道，水王问题：有N个数，其中有一个数出现超过一半，要求在线性时间求出这个数。那么，我的问题是，加强版水王：有N个数，其中有一个数刚好出现一半次数，要求在线性时间内求出这个数。

因为，很明显，如果是刚好出现一半的话，如此例： 0，1，2，1 ：

遍历到0时，candidate为0，times为1
    遍历到1时，与candidate不同，times减为0
    遍历到2时，times为0，则candidate更新为2，times加1
    遍历到1时，与candidate不同，则times减为0；我们需要返回所保存candidate（数字2）的下一个数字，即数字1。