2.10 K个最小和 (UVA 11997 K Smallest Sums)

### 题目大意：

You're given k arrays, each array has k integers. There are kk ways to pick exactly one element in each array and calculate the sum of the integers. Your task is to find the k smallest sums among them.

#### Input
There will be several test cases. The first line of each case contains an integer k (2<=k<=750). Each of the following k lines contains k positive integers in each array. Each of these integers does not exceed 1,000,000. The input is terminated by end-of-file (EOF). The size of input file does not exceed 5MB.

#### Output
For each test case, print the k smallest sums, in ascending order.

#### Sample Input
3
1 8 5
9 2 5
10 7 6
2
1 1
1 2
#### Output for the Sample Input
9 10 12
2 2

给定一个k*k的一个矩阵，如果让你在每一行取出一个数，再将每一行取出的数相加，那么总共可以得到k^k种相加方法，现在让你求出这k^k个结果中最小的k个结果。

### 分析与解法
仔细分析这个题目我们会发现其实这个问题是满足最优子结构的，比如：

如果我们已经计算出了前m行，每行取出一个数相加的最小的k个结果，分别是DP[1],DP[2]...DP[k] (注意这里的DP表示的是前m行每行一个相加的最小的前k个值)

假设第m+1行的值是A[1],A[2]...A[k] (注意这里的A[i]表示的是第m+1行的第i个数) 当我们推倒到第m+1行时，由于我们只计算了前m行的前k个最小值，那我们是不是有必要多计算一些来推导出第m+1行的前k个最小值呢？

答案是不必要的，我们可以通过以下数学公式严格证明：
设DP[x]是前m行通过计算得出的第x(x>k)小的和，如果上述的假设成立，那么我们可以列出不等式：
    
    DP[x] + A[y] < DP[m] + A[n] (1)
    (DP[m]+A[n]表示只通过DP[1,2...k]计算出的前m+1行第k小的和)

上述不等式的含义是指在第m+1行存在一个数A[y],使得DP[x]+A[y]是前m+1行中前k小的结果。
同时，我们注意到:
    
    x>k ==> DP[x] > DP[k]  (2)
    A[y] >= A[1]           (3)

由上面三个不等式(1),(2),(3)我们可以得到：

DP[k]+A[1] <= DP[x]+A[y] < DP[m]+A[n]
    DP[k]+A[1] < DP[m]+A[n]

之前我们说过DP[m] + A[n] 是前m行第k大的和，然而：比DP[k]+A[1]小的数已经有

（DP[1]+A[1]）,(DP[2]+A[1])...(DP[k-1]+A[1])共计k-1个，

所以DP[k]+A[1]是第k个最小的和，与假设的DP[m]+A[n]是第k个最小的和相矛盾，所以假设不成立。得证。

通过以上的证明我们可以得出结论要计算第m+1行的前k个最小和是只需要计算出前m行的前k个最小的和即可。这时，我们的目标就转化为了计算一个2*k的数组，在第一行取一个数，在第二行取一个数，得到k^2个和，求他们当中的最小的k个和。

为了计算它，我们把这n^2个数组织成如下n个有序表：

表1： A1+B1 <= A1+B2<=A1+B3<=......
    表2： A2+B1 <= A2+B2<=A2+B3<=......
    .
    表n： An+B1 <= An+B2<=An+B3<=......

这时我们用一个二元组（sum， b）来保存以上的每一个元素，其中sum=A[a] + B[b].

为什么不保存A的下标a呢？因为我们用不到a的值。如果我们需要在表(sum, b)中赵到下一个元素(sum', b+1)，只要计算sum' = s - B[b] + B[b+1],不需要知道a是多少。

### 实现代码

```c
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <queue>

using namespace std;

int  a[800][800],k;

struct node
{
    int s,b;
    bool operator<(const node &a) const
    {
        return s>a.s;
    }
};

void merge(int *A,int *B,int *C,int n)
{
    node tmp;
    priority_queue<node> q;
    for(int i=0;i<n;i++)
    {
        tmp.s=A[i]+B[0],tmp.b=0;
        q.push(tmp);
    }
    for(int i=0;i<n;i++)
    {
        tmp=q.top();
        q.pop();
        C[i]=tmp.s;
        if(tmp.b+1<n)
        {
            tmp.s=tmp.s-B[tmp.b]+B[tmp.b+1];
            tmp.b++;
            q.push(tmp);
        }
    }
}

int main()
{
    while(~scanf("%d",&k))
    {
        for(int i=0;i<k;i++)
        {
            for(int j=0;j<k;j++)
                scanf("%d",&a[i][j]);
            sort(a[i],a[i]+k);
        }
        for(int i=1;i<k;i++)
            merge(a[0],a[i],a[0],k);
        for(int i=0;i<k;i++)
            printf("%d%s",a[0][i],i!=k-1?" ":"\n");
    }
    return 0;
}
```
参考 http://www.cnblogs.com/gj-Acit/p/3583480.html